Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos

Exemplo

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

PLANO CARTESIANO

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.( X )
O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.( y )
No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
Localize o ponto (4, 3).

Traçando o gráfico de uma função do 1º grau crescente. (a > 0)

Traçando o gráfico de uma função do 1º grau decrescente. (a < 0)
f(x) = -2x + 3

Exercícios

1)Dada a função do 1º grau f(x) = 1 – 5x, determine:

a) f(0)
b) f(-1)
c) f(1/5)
d) f(-1/5)

2) Considere a função do 1º grau f(x) = - 3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha:

a) f(x) = 0
b) f(x) = 11
c) f(x) = - ½
d) f(x) = 2

3) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22.

4) Dada a função f(x)=2x -k, determine o valor de k, de modo que f(1) = 4

5) Determine raiz das seguintes funções do 1º grau
a) y= 4x - 8 c) y = 81x - 9
b) y=-7x + 49 d) y = 7x/3 - 6

6) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a)y= 3x -9 y= -2x

7) Em algumas cidades, você pode alugar um carro por 154 reais por dia mais um adicional de 16 reais por km rodado. Diante dessa situação:
a) Determine expressão da função por um dia de aluguel do carro..
b) Calcule o preço para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km.

8) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:

a) Determine expressão da função
b) O preço de uma corrida de 11 km.
c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

9) Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula P = 12 + 0,65n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos reveladas do filme.

a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?
b) Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?

10) Dada a função f(x) = 3x + 1, calcule:

a) f(9) – f(1)
b) f(4) – f(-2)
c) f(-5) + f(3)
d) f(10) + f (3)

Exercícios resolvidos

1) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 5,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,90, calcule:

a) A expressão matemática da função

F(x)=ax + b

F(x)= 0,90 x + 5,50

b) O preço de uma corrida de 10 km.

F(10)= 0,90x + 5,5

F(10) = 0,90(10) +5,5

F(10) = 14,50

c) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 19,00 pela corrida.

f(x) = 19,00

f(x)=19,00 0,90x +5,5 =19,00

f(x)=19,00 0,90x = 19,00 – 5,50

f(x)=19,00 x = 13,5 / 0,90

f(x) =15km

2)(UE – PA) Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de patchouli. Um artesão paraense resolveu incrementar sua produção investindo R$ 300,00 na compra de matéria-prima para confeccioná-las ao preço de custo de R$ 10,00 a unidade. Com a intenção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00, quantas deverá vender para obter lucro?

O custo para a produção das árvores será composto de um custo fixo e outro variável:
Custo fixo: R$ 300,00
Custo variável: R$ 10,00 por árvore produzida
Dessa forma, o custo total do artesão será:
C(x) = 300 + 10x

Ele pretende vender cada árvore pelo valor de R$ 25,00. Então a função receita será dada por:
R(x) = 25x

Para obter lucro, o artesão precisa que a receita seja maior que o custo, então teremos:

R(x) > C(x)
25x > 300 + 10x
25x – 10x > 300
15x > 300
x > 300/15
x > 20

O artesão deverá vender mais de 20 árvores para obter lucro.

3)(Vunesp – SP) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. Calcule o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos

Carlos
f(x) = 100 + 20x

Daniel
f(x) = 55 + 35x

Para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos temos que realizar a seguinte condição:

Valor cobrado por Daniel ≤ Valor cobrado por Carlos

55 + 35x ≤ 100 + 20x
35x – 20x ≤ 100 – 55
15x ≤ 45
x ≤ 45/15
x ≤ 3

A duração máxima da festa será de 3 horas.

Dada a função f (x) = 8x + 15, calcule:

f(0) = 8(0)+15 = 0+15 =15
f(3) = 8(3)+15 = 24+15 =39
f(0) – f(3) = 15 - 39 ==> - 24
================================================
Dada a função f (x) = 8x + 15, calcule:
b) f(5) – f (10)

f(5) = 8(5)+15 = 40+15 =55
f(10) = 8(10)+15 = 80+15 =95
f(5) – f (10) = 55 - 95 ==> - 40
================================================
c) Dada a função f (x) = 8x + 15, calcule:

f(7) = 8(7)+15 = 56+15 = 71
f(-3) = 8(-3)+15 = - 24+15 = - 9
c) f(7) + f(-3) = 71 - 9 ==> 62
================================================
Dada a função f (x) = 8x + 15, calcule:
d) f(2) + f( 3)

f(2) = 8(2)+15 = 16+15 = 31
f(3) = 8(3)+15 = 24+15 =39
d) f(2) + f( 3) = 31 + 39 ==> 70

Face book só na questões relacionadas à escola. Prof° Romildo

Dica de Física para os alunos do 1° ensino médio.

Espaço (s) é um número real que permite a localização do móvel em sua trajetória. Esse número é considerado a partir de um Zero arbitrário, denominado origem da trajetória .

Trajetória a seguir foi orientada arbitrário a seguir foi orientada arbitrariamente da esquerda para a direita.

Deslocamento escalar

O deslocamento escalar mede a variação de espaço efetuada pelo móvel em um determinado intervalo de tempo velocidade escalar média, pode se escrito da seguinte forma:

Vm = D/T

Sf = deslocamento final – Si deslocamento inicial.

Tf = tempo final – Ti tempo inicial.

Sistema internacional de medidas

No SI, a velocidade escala é medida em metros por segundo (m/s ). Na prática, a unidade mais usada é quilômetro por hora (Km /h). Como em muitos problemas é importante colocar as unidades de media num mesmo sistema, passando-as de Km/h para m/s ou vice-versa, convém lembrar que:

1 km= 1000 m 1 h= 3600 s então:

Para transformar km/h para m/s ( / ) dividir por 3,6

Exemplo : a) 1800 km/h para m/s : 1800 /3,6 = 500 m/s

Para transformar m/s para km/h multiplicar por 3,6 Exemplo:

a) 15 m/s para km/h: 15 . 3,6 =54 km/h

Objetivo, ao ter duas(02) aulas por semana, esses exercícios poderá facilitar o aprendizado.

Exercícios

1)Um ônibus percorre uma distância de 180 km em 2 h30min. Calcule a velocidade escalar média deste ônibus em m/s, durante esse percurso.

2)Qual a velocidade de uma motocicleta em km/h que deve atingir para igualar a velocidade de propagação do som no ar, supondo que esta seja de 330 m/s.

3)Um corredor percorre 100 metros em 10 segundos. Determine sua velocidade media em km/ h .

4) Um carro se desloca de Pernambuco - PE a Rio de Janeiro- RJ. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem; Em

em m/s.

5) Em um trecho de 50 km de uma rodovia seja monitorado pela Polícia Rodoviária equipada com radares móveis, e a velocidade máxima permitida no trecho seja de 80 km/h. Um motorista percorreu os 50 km do trecho em 30 minutos, calcule se ele ultrapassou o limite de velocidade máximo permitido.

.
6) Em uma corrida de Fórmula 1, o 1º colocado deu 60 voltas em um circuito com extensão de 4 km em 1 hora e 12 minutos. Calcule a velocidade média desenvolvida pelo carro desconsiderando as paradas para abastecimento e troca de pneus.

7) Uma viagem de Taubaté a Santos, distante 75 km, considere também que esta viagem seja feita em 2 h, um tempo bastante longo para os nossos padrões. Qual a sua velocidade média ?

8) ( FUVEST 2008) Dirigindo-se a uma cidade próxima, por uma autoestrada plana, um motorista estima seu tempo de viagem, considerando que consiga manter uma velocidade média de 90 km/h. Ao ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média para 60 km/h, permanecendo assim até a chuva parar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua velocidade média inicial. Essa redução temporária aumenta seu tempo de viagem, com relação à estimativa inicial, em:

a)5 minutos. b)7,5 minutos.
c)10 minutos. d)15 minutos.
e) 30 minutos.

9) (FUVEST) Um ônibus sai de São Paulo às 8 h e chega a Jaboticabal, que dista 350 km da capital, as 11 h 30 min. No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h.

a) Qual é a velocidade média, em km/h no trajeto São Paulo-Jaboticabal?

b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí-Campinas?

10)- Considere que um corpo se movimenta segundo a equação S = 8 + 3 t (no SI). Determine:

a) a posição inicial e a velocidade;

b) a posição no instante 4 s;

c) o instante em que se encontra na posição 32 m;

d) o deslocamento após 12 s.

11) O movimento de um corpo é dado pela tabela a seguir:

t (s)	0	1	2	3	4
S (m)	44	40	36	32	28

Determine:

a) o espaço inicial S_oe a velocidade escalar v do movimento;

b) a função horária do movimento;

c) o instante que o corpo passa pela origem dos espaços.

Exercícios Resolvidos

Função horária

1)(Mackenzie-SP) Uma partícula descreve um movimento uniforme. A função horária dos espaços, com unidades do Sistema Internacional de Unidades é: s = -2,0 + 5,0.t. Nesse caso, podemos afirmar que a velocidade escalar da partícula é:

a) -2 m/s e o movimento é retrógrado.

b) -2 m/s e o movimento é progressivo.

c) 5,0 m/s e o movimento é progressivo

d) 5,0 m/s e o movimento é retrógrado

e) -2,5 m/s e o movimento é retrógrado

Alternativa correta, letra c
Resolvendo...
A forma mais fácil de identificar a resposta certa é comparando a equação e os valores dados.
s = so + v .t
s = -2,0 + 5,0.t

2)Sabendo que o espaço do móvel varia com o tempo, e obedece a seguinte função horária do espaço: s = -100 + 25 . t, determine:

a) o espaço no instante 8s.

b) o instante quando o móvel passa na origem das posições.

c) Informe se o movimento do móvel é progressivo ou retrógrado

a) s = -100 +25 .8
s = -100 +200
s = 100m

b) Temos que calcular o tempo quando o espaço final for 0
s= -100 + 25.t
0 = -100 +25.t
100 = 25t
100÷25 = t
4 = t
Logo, t = 4s

c) O movimento é progressivo, pois a velocidade é positiva (+25m/s)

3)(FEI-SP)A posição de um móvel, em movimento uniforme, varia com o tempo conforme a tabela que segue.

A equação horária desse movimento é:

a) s = 4 – 25.t

b) s = 25 - 4.t

c) s = 25 + 4.t

d) s = -4 + 25.t

e) s = -25 – 4.t

Alternativa correta, letra b
Resolvendo...
1º - Vamos calcular a velocidade, não esquecendo que a velocidade média será igual a instantânea.
V = Δs÷ Δt
V = (5 -25) ÷ (5-0)

V = -20 ÷ 5
V = -4 m/s

2º - Agora vamos substituir os valores na equação.
S = 25 -4.t

4) O espaço inicial de um móvel que descreve um movimento retilíneo e uniforme é -5m. Nesse movimento o móvel percorre a cada intervalo de tempo de 10s uma distância de 50m. Determine a função horária do espaço para este movimento, e considere-o progressivo.

Precisamos calcular o valor da velocidade.
V = Δs ÷ Δt
V = 50 ÷ 10
V = 5m/s

s = so + v.t
s = -5 +5.t
Pronto, encontramos a função horária correspondente e o movimento está progressivo, pois a velocidade é positiva.
O movimento é progressivo, pois a velocidade é positiva (+25m/s)

5)Um trem, de 200m de comprimento tem velocidade escalar constante de 72km/h. Calcule o tempo gasto para passar uma ponte de 50m de comprimento.

Precisamos transformar a velocidade, isso vai acontecer porque todos os outros dados foram dados em m.
72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s

2° - Agora sim vamos a resolução...
No inicio da travessia, temos o comprimento do trem que são 200m e o tamanho da ponte que são 50m.
A função horária das posições para a traseira do trem no início da ultrapassagem é:
s = so + v.t
s = 0 +20.t
s = 20.t
Quando termina a ultrapassagem, temos s = 250 m, porque somamos o tamanho do trem ao da ponte.
s = 20t
250 = 20t
250 ÷ 20 = t
12,5 = t
Portanto, t = 12,5s, ou seja, o trem leva esse tempo para atravessar a ponte.

06). (UTP) Numa determinada trajetória, um ponto material tem função horária: S = 10 – 2t (tempo em segundos e posição em metros). No instante t = 3 s, a posição do ponto será:
a) 6 m
b) 10 m
c) 4 m
d) 16 m
e) n.d.a.

Respo a) Como S = 10 – 2t, temos no tempo t = 3s:
S = 10 – 2∙3
S = 10 – 6
S = 4 m

07) (EESJC-SP) Uma partícula tem equação horária dos espaços dada por:
s = 100 – 20t (SI)

a) Qual a trajetória da partícula?a) Somente com a função horária do espaço, não podemos dizer a respeito da trajetória.

b) Em que instante a partícula passa pela origem dos espaços?

s = 0 (origem dos espaços)

s = 100 – 20t
0 = 100 – 20t
20t = 100
t = 100/20
t = 5 s

08. (UNITAU-SP) Um automóvel percorre uma estrada com função horária S = – 40 + 80t, onde x é dado em km e t em horas. O automóvel passa pelo km zero após:
a) 1,0 h
b) 1,5 h
c) 0,5 h
d) 2,0 h
e) 2,5 h

- Pelo quilômetro zero é quando x = 0, temos:
0 = – 40 + 80t
40 = 80t
80t = 40
t = 40/80
t = 0,5 h

10). Um móvel descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
s = – 40 + 20t (SI)

No espaço s = 60 m , temos:
60 = – 40 + 20t
60 + 40 = 20t
100 = 20t
20t = 100
t = 100/20
t = 5 s

11) Um móvel descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço:
s = 10 + 2t (SI)
Determine o instante que esse móvel passa pelo espaço s = 30 m

No espaço s = 30 m , temos:
30 = 10 + 2t
30 – 10 = 2t
20 = 2t
2t = 20
t = 20/2
t = 10 s

12) O movimento de um móvel respeita a função horária do espaço:
s = – 100 + 5t (SI)
Qual o instante em que esse móvel passa pelo espaço s = – 50 m

- No espaço s = – 50 m , temos:
– 50 = – 100 + 5t
– 50 + 100 = 5t
50 = 5t
5t = 50
t = 50/5

13) Em que instante, um corpo que descreve um movimento de acordo com a função horária do espaço abaixo, alcança o espaço 6 m?
s = 50 – 15t + t² (SI)

No espaço s = 6 m , temos:
6 = 50 – 15t + t²
– t² + 15t – 50 + 6 = 0
– t² + 15t – 44 = 0 (-1)
t² -15t + 44 = 0
- Temos que resolver a equação do segundo grau:
∆ = b² – 4ac
∆ = (–15)² – 4∙1∙44
∆ = 225 – 176
∆ = 49
- Calculando o tempo:
t' = (15 + 7)/2 = 11 s
t'' = (15 – 7)/2 = 4 s
- O corpo passa no espaço 6 m nos instantes 4 s e 11 s.

14) Determine o instante em que um automóvel que descreve um movimento sobre uma rodovia descrito pela função horária do espaço abaixo, passa pelo marco km 500?
s = 50 + 90t (s em km e t em horas)

No km 500 , temos:
500 = 50 + 90t
500 – 50 = 90t
450 = 90t
90t = 450
t = 450/90
t = 5 h

15) Sabe-se que um móvel passa pela origem dos espaços duas vezes em seu movimento. Determine quanto tempo após passar pela primeira vez na origem dos espaços ele retorna a esse local, sabendo que o movimento é descrito pela função horária dos espaços:
s = 48 – 16t + t² (SI)

Ele passa pela origem do espaço quando s = 0:
0 = 48 – 16t + t²
– t² +16t – 48 = 0 (– 1)
t² – 16t + 48 = 0
- Temos que resolver a equação do segundo grau:
∆ = b² – 4ac
∆ = (–16)² – 4∙1∙48
∆ = 256 – 192
∆ = 64
- Calculando o tempo:
t' = (16 + 8)/2 = 12 s
t'' = (16 – 8)/2 = 4 s
- Como este corpo passa no tempo 4 s e retorna no tempo 12 s, portanto o tempo que ele demora para passar novamente pela origem dos espaços é de 12 – 4 = 8 s.

Romildo Costa Matemática

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domingo, 21 de maio de 2017

Exercícios de Matemática 1º A,B,C,D,E